众享教育2013 2013金山区初三数学第一学期期末质量抽查试卷
推荐答案
试卷答案 一、选择题（单项选择，每题2分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C C B C D C C D C C D D C A D 二、填空题 1、空气、音色 2、响度、音调、双耳 3、很大、很小 4、漫反射 5、色散、绿光 6、30º 2 7、大于250px， 大于125px小于250px， 小于125px 8、(1)凸、小于、焦距、正、放大、虚 (2)大于250px (3)中间，同一高度 9、C、幻灯机等 三、作图题：略。
四、综合题 2、1.12、 0.28、 1.4 图略。3、(1)物体成像在视网膜前，形成近视。(2)应戴合适的凹透镜。因为凹透镜对光具有发散作用。通过凹透镜的光线再经过晶状体拆射后，使像成在视网膜上。4、4590m/s其他回答
2013金山区初三数学第一学期期末质量抽查试卷金山区2009学年度第一学期初中九年级数学期末考试 2009.1
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．在Rt△ABC中，∠C = 90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a=3，b=4，那么下列等式中正确的是（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
2．如图，已知AB‖CD，AD与BC相交于点O，AO∶DO=1∶2，
那么下列式子错误的是（ ）
（A）BO∶CO=1∶2； （B）CO∶BC=1∶2；
（C）AD∶DO=3∶2； （D）AB∶CD=1∶2．
3．把抛物线 向下平移2个单位后得到的新抛物线的解析式是（ ）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） ．
4．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
（A）等边三角形； （B）平行四边形；
（C）正方形； （D）正五边形．
5．下列条件中，不能判定 ‖ 的是（ ）
（A） ‖ ， ‖ ； （B） ；
（C） = ； （D）（B） = ， = ．
6．⊙ 与⊙ 的半径分别为1和3，那么下列四个叙述中，错误的是（ ）
（A）当 时，⊙ 与⊙ 有两个公共点；
（B）当⊙ 与⊙ 有两个公共点时， ；
（C）当 ≤ 时，⊙ 与⊙ 没有公共点；
（D）当⊙ 与⊙ 没有公共点时， ≤ ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a = 9，c = 4， 那么b = ．
8．如果两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的对应角平分线的比为 ．
9．已知点G是△ABC的重心，AD是中线，AG=6，那么DG= ．
10．求值： ．
11．抛物线 的顶点坐标是 ．
12．请写出一个以直线 为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 ．
13．小李在楼上点A处看到楼下点B处的小明的俯角是35度，那么点B处的小明看点A处的小李的仰角是 度．
14．已知点P在⊙O外，且⊙O的半径为5，设OP=x，那么x的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，以点P（4， ）为圆心的圆与x轴相切，那么该圆和y轴的位置关系是 ．
16．正十边形的中心角度数是 ．
17．相切两圆的半径分别是4和6，那么这两个圆的圆心距为 ．
18．在△ABC中，AB=AC= 5，BC=6，以点A为圆心，r为半径的圆与底边BC（包括点B和点C）有两个公共点，那么r的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
如图，已知两个不平行的向量 、 ．
先化简，再求作： ．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
20．（本题满分10分）
已知二次函数 的图像经过点（2， ）和（ ，0），求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．
21．（本题满分10分）
如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，线段CE的延长线与线段BA的延长线交于点F，CD=6，AE= ED，求BF的长．
22．（本题满分10分）
如图是公园中的一个圆弧形拱门，其中拱门的圆心是点O，拱门的最高处点A到地面的距离AH=3米，拱门的地面宽BC=2米，求拱门的半径。
23．（本题满分12分，其中每小题6分）
12月22日是我国农历节气中的冬至日，这天太阳光与地面夹角的度数最小，因此建筑物的影子就最长。某地这天的某一时刻太阳光与水平面的夹角 的度数是37°，该地一小区内甲乙两幢楼之间的间距BD=40米，甲楼的楼顶A在乙楼上的投影E的高度ED为5米。
（1）求甲楼的高度；
（2）若要使得这一时刻甲楼的楼顶A的投影恰好在乙楼的楼底处，那么在设计时这两幢楼的间距一定要达到多少米？
（参考数据： ， ， ， ）
24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题6分）
如图，正比例函数 与二次函数 的图像都经过点A（2，m）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图像顶点P的坐标和对称轴；
（3）若二次函数图像的对称轴与正比例函数的图像相交于点B，与x轴相交于点C，点Q是x轴的正半轴上的一点，如果△OBC与△OAQ相似，求点Q的坐标．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC= ，AB=5，D是线段AB上的一点（与点A、B不重合），直线DP⊥AB，与线段AC相交于点Q，与射线BC相交于点P，E是AQ的中点，线段ED的延长线与线段CB的延长线相交于点F。
（1）求证：△FBD∽△FDP；
（2）求BF∶BP的值；
（3）若⊙A与直线BC相切，⊙B的半径等于线段BF的长，设BD=x，当⊙A与⊙B相切时，请求出x的值．
金山区2009学年度第一学期初中九年级数学期末考试
参考答案与评分意见2010.1
一、选择题：（本大题共有6题，每题4分，满分24分）
1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．B； 6．D．
二、填空题：（本大题共有12题，每题4分，满分共48分）
7．6； 8．1∶2； 9．3； 10． ； 11．（1，-3）； 12． 等； 13．35； 14． ； 15．相离； 16．36°； 17．2和10； 18． ．
三、解答题：
19．解： ．………………………………………………（4分）
图正确（图略）．…………………………………………………………………（5分）
结论． ……………………………………………………………………………（1分）
20．解：根据题意，得 ……………………………………………（2分）
解得 ……………………………………………………（2分）
∴所求的二次函数的解析式为 ．………………………………（1分）
又∵ ，…………………………………………（2分）
∴函数图像的顶点坐标是（1，-4），对称轴是直线x=1．…………………（3分）
21．解：在平行四边形ABCD中，AB‖CD，AB=CD……………………………………（2分）
∵AB‖CD，∴ ．……………………………………………………（2分）
∵AE= ED，∴ ．……………………………………………（3分）
∴AB=CD=6，∴BF=9．…………………………………………………………（3分）
22．解：联结OB，设半径为r。…………………………………………………………（2分）
由题意可得AH⊥BC，点O在AH上
∴BH=CH= ． ……………………………………………………………（2分）
∵BC=2米，∴BH=1米.
∵∠BHO=90°，∴ ………………………………………（1分）
得： ……………………………………………………………（2分）
解得： ………………………………………………………………………（2分）
答：拱门的半径为 米．………………………………………………………（1分）
23．解：（1）过点E作EH⊥AB，垂足为点H。
由题意，得AB⊥BD，CD⊥BD
∠AEH= =37°，BD=EH=40米，ED=BH=5米。………………………………（1分）
在Rt△AHF中，∠AHE=90°，
tan∠AEH= , =EH tan∠AEH=30米，…………………………………（3分）
AB=AH+BH=35米……………………………………………………………………（1分）
答：甲楼的高度是35米。……………………………………………………………（1分）
（2）延长AE，交直线BD于点F……………………………………………………（1分）
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠AFB= =37°………………………………………（1分）
cot∠AFB= ，BF=AB cot∠AFB=46.55米…………………………………………（3分）
答：在设计时这两幢楼的间距一定要达到46.55米……………………………………（1分）
（2）解法二：
延长AE，交直线BD于点F………………………………………………………………（1分）
∵AB⊥BD，EH⊥AB
∴BD‖EH ∴ ……………………………………………………………（2分）
∵AB=35，AH=30，EH=40 ∴ ∴ 米…………………（2分）
答：在设计时这两幢楼的间距一定要达到 米………………………………………（1分）
24．解：（1）∵正比例函数 与二次函数 的图像都经过点A（2，m）
∴ …………………………………………………………（1分）
∴
∴ ………………………………………………………………………（1分）
∴这个二次函数的解析式是 …………………………（1分）
（2） ………………………………………（1分）
∴这个二次函数图像顶点P的坐标是 ，对称轴是 ……………（2分）
（3）设 .当 时， ，
∴ …………………………………………………………………（1分）
当△OBC∽△OAQ时,有 ,得 ……………………（2分）
当△OBC∽△OQA,有 ,得 ……………………（2分）
∴点Q的坐标是 ……………………………………………………（1分）
25．解：（1）∵∠ACB=∠PDB=90°，∠ABC=∠PBD，∴△BDP∽△ABC．
∴∠A=∠BPD……………………………………………………………………（1分）
∵∠ADQ=90°，E是AQ的中点
∴AE=EQ=DE
∴∠A=∠ADE．…………………………………………………………………（1分）
∵∠FDB=∠ADE．
∴∠FDB=∠FPD
∵∠DFB=∠PFD
∴△FBD∽△FDP…………………………………………………………………（2分）
（2）解法一：
∵△FBD∽△FDP，
∴ …………………………………………………………（1分）
∵∠PDB=90°
∴ ……………………………………………………（1分）
∴ ……………………………………………………………（1分）
∴ ……………………………………………………………………（1分）
BF∶BP=9∶7……………………………………………………………………（1分）
解法二：∵∠PDB=90°
∴ ……………………………………………………（1分）
设DP=4k，BD=3k，则BP=5k……………………………………………（1分）
∵△FBD∽△FDP，
∴
…………………………………………………………（1分）
∴ ，
解得： ……………………………………………………………（1分）
∴BF∶BP=9∶7………………………………………………………………（1分）
解法三：∵∠PDB=90°
∴ ……………………………………………………（1分）
∵△FBD∽△FDP，
∴ ……………………………………………（2分）
∴ ……………………………………………………………………（1分）
∴BF∶BP=9∶7………………………………………………………………（1分）
（3）如果⊙A与⊙B外切，则 ，此时 不在 上，不合题意……………………………………………………………（1+1分）
如果⊙A与⊙B内切，则 ，此时 , 适合题意…………………………………………………………………（1+1分）
综上所述， ……………………………………………………………（1分）
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一、选择题（本题10个，每小题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． 等边三角形 B． 平行四边形 C． 正五边形 D． 正方形
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选D．
点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．若△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为（）
A． 1： B． 1：4 C． 4：1 D． ：1
考点： 相似三角形的性质．
分析： 由△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
解答： 解：∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：1： ．
故选A．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
3．（3分）（2012?聊城）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）
A． 必然事件 B． 随机事件 C． 确定事件 D． 不可能事件
考点： 随机事件．
分析： 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
解答： 解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选B．
点评： 本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
4．如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
考点： 弧长的计算．
专题： 压轴题．
分析： 根据弧长公式l= ，即可求解．
解答： 解：设圆心角是n度，根据题意得
= ，
解得：n=60．
故选：C．
点评： 本题考查了扇形的弧长公式，是一个基础题．
5．一元二次方程x2﹣2x=m总有实数根，则m应满足的条件是（）
A． m＞﹣1 B． m=﹣1 C． m≥﹣1 D． m≤1
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可．
解答： 解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m=0总有实数根，
∴△=4+4m≥0，
解得：m≥﹣1，
故选C
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有实数根即为根的判别式大于等于0．
6．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）
A． a＞0
B． 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根
C． c＜0
D． 当x≥0时，y随x的增大而减小
考点： 二次函数的性质．
专题： 数形结合．
分析： 根据抛物线开口方向对A进行判断；根据抛物线顶点坐标对B进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对C进行判断；根据二次函数的性质对D进行判断．
解答： 解：A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项错误；
B、因为抛物线当x=1时，二次函数有值3，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根为x1=x2=1，所以B选项正确；
C、抛物线与x轴的交点在x轴上方，则c＞0，所以C选项错误；
D、当x＞1时，y随x的增大而减小，所以D选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得值 ，即顶点是抛物线的点．
7．一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ= （k为常数，k≠0），其图象如图所示，那么当V≥6m3时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）的取值范围是（）
A． ρ≤1.5kg/m3 B． 0kg/m3＜ρ＜1.5kg/m3
C． ρ≥1.5kg/m3 D． ρ＞1.5kg/m3
考点： 反比例函数的应用．
分析： 由图象可知，反比例函数图象经过点（6，1.5），利用待定系数法求出函数解形式即可求得k值，然后根据V≥6m3求解即可．
解答： 解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），
设反比例函数为ρ= ，
则1.5= ，
解得k=9，
所以解析式为：ρ= ，
当V=6时，求得ρ=1.5，
故选B．
点评： 此题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式．同学们要认真观察图象．
8．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，根据场地和时间等条件，计划共安排28场比赛．设比赛组织共邀请x对参加比赛，则依题意可列方程为（）
A． x（x﹣1）=28 B． x（x+1）=28 C． x（x﹣1）=28 D． x（x+1）=28
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
分析： 设比赛组织共邀请x对参加比赛，则每队参加（x﹣1）对比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排28场比赛，列方程即可．
解答： 解：设比赛组织共邀请x对参加比赛，则每队参加（x﹣1）对比赛，
由题意得， x（x﹣1）=28．
故选A．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，AC=8，则⊙O的直径AD的长度为（）
A． 16 B． 4 C． D．
考点： 圆周角定理；勾股定理．
分析： 首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠B=60°，然后利用三角函数，求得⊙O的直径AD的长度．
解答： 解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，AC=8，
∴AD= = ．
故选D．
点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y= （k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A．若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（）
A． S的值增大 B． S的值减小
C． S的值先增大，后减小 D． S的值不变
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 计算题．
分析： 作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB= |k|，所以S=2k，为定值．
解答： 解：作PB⊥OA于B，如图，
则OB=AB，
∴S△POB=S△PAB，
∵S△POB= |k|，
∴S=2k，
∴S的值为定值．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： y=﹣．
考点： 反比例函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．
解答： 解：∵图象在第二、四象限，
∴y=﹣ ，
故答案为：y=﹣ ．
点评： 此题主要考查了反比例函数 （k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
12．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AB边上的一点，当AD= 时，△ABC∽△ACD．
考点： 相似三角形的判定．
分析： 根据相似三角形的对应边成比例即可得出AD的长．
解答： 解：∵△ABC∽△ACD，AB=8，AC=6，
∴ = ，即 = ，
解得AD= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
13．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 3 ．
考点： 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 根据根与系数的关系得到﹣2?x1=﹣6，然后解一次方程即可．
解答： 解：设方程另一个根为x1，根据题意得﹣2?x1=﹣6，
所以x1=3．
故答案为3．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1?x2= ．
14．一个布袋中装有只有颜色不同的a（a＞12）个小球，分别是2个白球、4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整）．根据题中给出的信息，布袋中黄球的个数为 8 ．
考点： 利用频率估计概率．
分析： 首先根据黑球数÷总数=摸出黑球的概率，再计算出摸出白球，黑球，红球的概率可得答案．
解答： 解：球的总数：4÷0.2=20（个），
2+4+6+b=20，
解得：b=8，
故答案为：8．
点评： 此题主要考查了概率和条形统计图，关键是掌握概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．把抛物线y=﹣2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为 y=﹣2（x+1）2﹣2 ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： 先确定抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答： 解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2﹣2．
故答案为y=﹣2（x+1）2﹣2．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．如图，半圆O的直径AB长度为6，半径OC⊥AB，沿OC将半圆剪开得到两个圆心角为90°的扇形．将右侧扇形向左平移，使得点A与点O′，点O与点B分别重合，则所得图形中重叠部分的面积为 3π﹣．
考点： 扇形面积的计算．
分析： 连接AE，作ED⊥AB于点D，S扇形﹣S△ADE，即可求得弧BE和BD以及DE围成的阴影部分的面积，则阴影部分的面积即可求得．
解答： 解：连接AE，作ED⊥AB于点D．
∵AE=AB=2AD，
∴∠AED=30°，
∴∠EAB=60°，
∴S扇形= = π，
在直角△ADE中，DE= = = ，则S△ADE= × × = ，
则弧BE和BD以及DE围成的阴影部分的面积是： π﹣ ，
则S阴影=2（ π﹣ ）=3π﹣ ．
故答案是：3π﹣ ．
点评： 本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算，是关键．
三、解答题（共72题）
17．解下列方程
（1）x2+10x=3
（2）6+3x=x（x+2）
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： （1）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：（1）配方得：x2+10x+25=28，即（x+5）2=28，
开方得：x+5=±2 ，
解得：x1=2 ﹣5，x2=﹣2 ﹣5；
（2）方程变形得：3（x+2）﹣x（x+2）=0，
分解因式得：（x+2）（3﹣x）=0，
可得x+2=0或3﹣x=0，
解得：x1=﹣2，x2=3．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．在如图所示网格图中，已知△ABC和点M（1，2）
（1）在网格中以点M为位似中心，画出△A′B′C′，使其与△ABC的位似比为1：2．
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
考点： 作图-位似变换．
分析： （1）利用位似图形的性质结合位似比的位置得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用所画图形得出各对应点坐标．
解答： 解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）如图所示：A′（2，4），B′（3，2），C′（6，3）．
点评： 此题主要考查了位似变换，得出对应点位置是解题关键．
19．如图，一次函数y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y= （k≠0）交于点C，A点坐标为（2，0），B点是线段AC的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，
（2）根据图象写出，在第二象限内，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得b的值，可得到一次函数解析式，则可求得B点坐标，结合中点，可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值，可得到反比例函数解析式；
（2）可先求得两函数图象另一交点坐标，结合图象可得到一次函数图象在反比例函数图象的下方对应的x的取值，可得到答案．
解答： 解：
（1）∵一次函数图象过A点，
∴0=﹣2+b，解得b=2，
∴一次函数解析式为y=﹣x+2，
∴B点坐标为（0，2），
又B为线段AC的中点，
如图，过点C作CD⊥x轴，
由中位线定理可知CD=2OB=4，
即C点纵坐标为4，又C点在一次函数图象上，
代入可得4=﹣x+2，解得x=﹣2，
∴C点坐标这（﹣2，4），
又C点在反比例函数图象上，
∴k=﹣2×4=﹣8，
∴反比例函数解析式为y=﹣ ；
（2）联立两函数解析式可得 ，解得 或 ，
∴两函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2），
当一次函数值小于反比例函数值时，即一次函数图象在反比例函数图象的下方，
结合图象可知x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞4．
点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点，求得C点坐标是求反比例函数解析式的关键，求得另一个交点坐标是（2）的关键．注意数形结合思想的应用．
20．双十一期间，某商厦为了促销，将两张形状完全相同的（如图1）从中间剪开，再把得到的四张形状相同的小混合在一起（如图2），放到一个暗箱中，如果顾客在该商厦一次购物满300元，就可以获得一次抽奖机会，其规则是：从四张中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，如果抽出的两张小恰好能合成一张完整的，则可以返还20元的购物券，问：一次抽奖，顾客获得购物券的概率是多少？
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先设四张小分别用A，a，B，b表示，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与一次抽奖，顾客获得购物券的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：设四张小分别用A，a，B，b表示，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，一次抽奖，顾客获得购物券有4种情况，
∴一次抽奖，顾客获得购物券的概率是： = ．
点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．某商场经营某种电子产品，平均每天可销售30件，每件盈利50元为了实现每天的平均利润增长40%的目标，该商场的市场都经过调查得知，若每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件该电子产品．问：每件商品降价多少元时，商场可以实现所提出的利润增长目标？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 分别表示出单件的利润和销售量，利用单件利润×销售量=总利润列出方程求解．
解答： 解：设每件商品降价x元时，商场可以实现利润增长目标．
由题意得：（50﹣x）（30+2x）=30×50×140%，
解得：x=20或x=15．
答：当每件商品降价20元或15元时，商场可以实现所提出的利润增长目标．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是看出降价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点G，过点D作DE⊥AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB=13，BC=10．求AE的长．
考点： 切线的判定．
分析： （1）首先连接OD，由AB=AC，OB=OD，易得∠ABD=∠ODB=∠C，继而可得OD∥AC，然后由DE⊥AC，证得DE⊥OD，则可得直线EF与⊙O相切．
（2）首先连接AD，由圆周角定理，可得∠ADB=90°，然后由三线合一，可求得BD的长，再由勾股定理，求得AD的长，易证得△AED∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
解答： 解：（1）直线EF与⊙O相切．
理由：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴直线EF与⊙O相切．
（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC= BC=5，
∴AD= = =12，
∵∠DAC=∠DAC，∠ADC=∠AED=90°，
∴△AED∽△ADC，
∴ ，
即 ，
解得：AE= ．
点评： 此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
23．实验观察
（1）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积（只写出结论即可），1×9，2×8，3×7，…，8×2，9×1
（2）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积（只写出结论即可）．45×55，46×54，47×53，…54×46，55×45．
猜想验证根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为m（m＞0），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积？用所学知识说明你的猜想的正确性．
拓展应用小明欲制作一个四边形的风筝（如图所示），他想用长度为1.8m的竹签制作风筝的骨架AB与CD（AB⊥CD），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，他想把风筝的表面积（四边形ADBC的面积）制作到．根据上面的结论，求当风筝的骨架AB、CD的长为多少时，风筝的表面积能达到？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）由列举法就可以得出5×5=25；
（2）同样由列举法可以得出50×50=2500；
猜想验证，当两个数的和为m时，当两个数分别为 时，乘积．设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m﹣x，就有n=x（m﹣x），由二次函数的性质就可以求出结论；
拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由三角形的面积公式就可以得出结论．
解答： 解：（1）由题意，得
1×9=9，2×8=16，3×7=21，4×6=24，5×5=25
6×4=24，7×3=21，8×2=16，9×1=9，
∴5×5=25，
答：5×5=25的乘积；
（2）由题意，得
…45×55=2475，46×54=2484，47×53=2491，48×52=2496，49×51=2499，50×50=2500，
51×49=2499，52×48=2496，53×47=2491，54×46=2484，55×45=2475…．
∴50×50=2500，
答：50×50=2500的乘积；
猜想验证，若两个数的和为m，当两个数分别为 时，乘积．
理由：设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m﹣x，由题意，得
n=x（m﹣x），
n=﹣x2+mx，
n=﹣（x﹣ ）2+ ；
∴a=﹣1＜0，
∴当x= 时，n= ．
拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由题意，得
w=a（1.8﹣a），
w=﹣a2+1.8a，
w=﹣（a﹣0.9）2+0.81，
∴a=﹣1＜0，
∴a=0.9时，w=0.81，
∴当AB=CD=0.9时，风筝的表面积能达到．
点评： 本题考查了列举法的运用，二次函数的运用，二次函数的顶点式的运用，二次函数解实际问题的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
24．旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．
如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）
考点：几何变换综合题．
分析： （1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）连接M'N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可；
（3）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．
解答： 解：（1）旋转后的△A'CM'如图1所示：
（2）连接M'N，
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°，
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，
∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，
∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°，
∵CN=CN，
在△MCN与△M'CN中，
，
∴△MCN≌△M'CN（SAS），
∴MN=M'N，
在RT△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2=BN2+BM'2，
∴MN2=AM2+BN2；
（3）如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，
则△AC'C是等腰直角三角形，C'D=3，
∵∠C'=∠ACB=45°，
∴C'，D'，B，C均在同一直线上，
在△DAB与△D'AB中，
，
∴△DAB≌△D'AB（SAS），
∴DB=D'B，
在RT△BCD'中，
∵BC=4，CD=3，
∴DB=5，
∴CC'=12，
∴AC=6 ．
点评： 此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答．
